Numerisk partikelspredningsmodel

Der er opstillet en numerisk partikelspredningsmodel, for at kunne lave en sammenligning af denne og de øvrige stoftransportmodeller, der undersøges i projektet. Figur I.8.1 viser et oversigtsbillede af den vandløbsstrækning som stoftransporten regnes over. Træbroen, st. 2.334, er den øvre rand i modellen, hvor stoffet tilsættes, og betonbroen, st. 1.872, er placeret 470 m nedstrøms, og her er koncentrationen af rodamin målt. Det ønskes at tilpasse partikelmodellen bedst muligt til de målte rodaminkoncentrationer.

Matlab-koden for partikelspredningsmodellen kan hentes her.

Teoretisk grundlag

Der er opstillet en simpel endimensional partikelspredningsmodel for en punktformet udledning i et vandløb. Formålet med modellen er at bestemme diffusionskoefficienten, D, ved brug af målingerne fra rodaminforsøget. Modellen bygger på Ficks 2. lov, ligning I.7.1

Skridtlængden for den enkelte partikel beregnes ved ligning I.8.1 I modellen antages det, at stoffet er fordelt diskret på et stort antal partikler, hvis bevægelse herefter beskrives et tidsskridt ad gangen. Diffusionsprocessen simuleres med diffusions koefficienten ved, at lade partiklerne springe tilfældigt frem eller tilbage i hvert tidsskridt Δt, mens konvektionen simuleres med strømningshastigheden, u, ved at lade de samme partikler bevæge sig u·Δt.

For at benytte random er det nødvendigt med et par korrektioner, da gennemsnit og varians af en sekvens af random er hhv. 1/2 og 1/12. Derfor benyttes ligning I.8.2 i stedet for ligning I.8.1. På denne måde flyttes partiklerne til hvert tidsskridt og der laves efterfølgende en omregning til koncentrationer. Der er i beregningerne brugt 20.000 partikler og et tidsskridt på 30 sek.

Koncentrationerne udregnes ved at "tælle" antallet af partikler i et givent område. Det ønskes at bestemme koncentrationsforløbet ved betonbroen, x=470 m, og det er valgt at tælle hvor mange partikler, der til hvert tidsskridt befinder sig mellem x=450 m og x=490 m. Det medfører en stedslig udjævning af koncentrationerne at vælge at "tælle" partiklerne indenfor en 40 m lang strækning, men det ville kræve et langt større antal partikler at gøre dette område mindre.

Sammenligning af partikelmodel og numerisk løsning af advektion-dispersions ligningen

Det ønskes at sammenligne modelleringen af stoftransporten i partikelmodellen og den analytiske løsning. Derfor indsættes de samme værdier i begge modeller, som vist i tabel I.8.1. Resultatet af dette kan ses i figur I.8.2, sammen med grafen for de målte data. Det ses, at der er en god overensstemmelse mellem partikelmodellen og den analytiske løsning. Forskellen skyldes dels at partiklerne tælles over en strækning på 40 m og dels at de tilfældige tal giver en lidt ujævn kurve. I forhold til de målte værdier er der stadig en afvigelse, som kan tilskrives, at antagelsen om stationære og ensformige forhold i vandløbet ikke er opfyldt.
Partikelmodellen vurderes at være meget anvendelig til modellering af stoftransporten på delstrækningen i Hasseris Å. Der produceres ingen numeriske fejl og modellen ville let kunne anvendes på ikke stationære beregninger. Til gengæld kræves et stort antal partikler for at udjævne betydningen af de tilfældige tal, men dette betyder samtidig at beregningstiden vil blive stor.

[ Til toppen ]
[ Forrige | Næste ]