Løsning af advektion-dispersions ligningen med finitte differens metoden

Det er også valgt at lave en numerisk løsning af advektion-dispersions ligningen med finitte differens metoden. Dette gøres med henblik på en sammenligning med de øvrige modeller og for at lave en vurdering af de numeriske fejl, der måtte opstå ved denne løsningsmetode. Det er undersøgt om modellen kan fittes til de målte stofkoncentrationer og hvilke ændringer af modellen, der er nødvendige for at kunne modellere spredning og stoftransport i Hasseris Å.

I det følgende gennemgås først den numeriske løsning af advektion-dispersions ligningen og opsætningen af randbetingelserne i modellen. Dernæst gennemgås det, hvordan den konceptuelle model er udvidet, således at der tilføjes en dødvandszone, som tager højde for stillestående vand langs bredden af vandløbet. Selve programmet er skrevet i MATLAB og koden kan ses her.

Numerisk løsning

Advektion-dispersions ligningen er diskretiseret, så der anvendes fremadrettede differencer i tidsretningen, men centrale differencer i stedsretningen. Dermed kommer advektion- dispersions ligningen til at have følgende form, ligning I.9.1. Det ovenstående løsningsskema kaldes "forward time central space", FTCS, og det er veldokumenteret hvilke stabilitetskriterier, der gælder ved netop denne løsning. Dette kan ses i Bilag: Stabilitetskrav. Under hensyntagen til stabilitetskriterierne er stedsskridtet, Δx, sat til 5 m og tidsskridtet, Δt, er sat til 10 sek.

Randbetingelser

På øvre rand i modellen anvendes ikke centrale differenser, men blot fremadrettede differenser i stedsretningen.

Nedre rand er en åben rand, hvor stoffet forsvinder ud af modellen. Dette er gjort ved at fastholde koncentrationerne på nedre rand på nul. Det er undersøgt om dette får indflydelse på koncentrationerne opstrøms i åen, hvilket har vist sig ikke at være tilfældet. Nedre rand er for en sikkerheds skyld placeret i x=1000 m mens afstanden mellem broerne er sat til 470 m. Dermed passerer langt størstedelen af stoffet træbroen inden det når nedre rand i modellen. Der er lavet et videoklip, som viser stoffets bevægelse ned gennem vandløbet.

Figur I.9.2 viser, at der er massebevarelse i modellen ned til ca. 320 m efter st. 1.872. Når der ikke er massebalance i den sidste del skyldes det, at beregningstiden i dette eksempel var 2 timer og dermed har stoffet ikke nået at passere den nedre del, hvilket også fremgår af ovennævnte videoklip.

Vurdering af numeriske fejl

Først sammenlignes finitte differens modellen og den analytiske løsning af advektion-dispertions ligningen. Hvis de to modeller regner på samme situation må forskellen være et udtryk for de numeriske fejl i finitte differens modellen. I denne sammenligning anvendes følgende input til de to modeller, som vist i tabel I.9.1.

Den beregnede stofkoncentration efter 470 meters transport ser for de to modeller ud som på figur I.9.3. Det ses umiddelbart, at der er en forskel på de to kurver og at dispersionen er større i den analytiske løsning. Dette skyldes, at FTCS skemaet har en tendes til at "samle" stoffet en smule.

Det er undersøgt, om den samlede stofmængde, der passerer tværsnittet er den samme for de to modeller. Er dette ikke tilfældet er der tale om såkaldte 0. ordens fejl. Det er også undersøgt, om tidsskridtets størrelse har betydning for resultatet. Derfor vises resultater af to kørsler, hvor der er anvendt et tidsskridt på henholdsvis 10 sek og 1 sek.

Det gælder for begge modeller, at den tilførte masse er 2,225 g. Stabilitetskritierierne for finitte differens modellen er i denne sammenligning:

Pe = 0,97 (uafhængigt af dt)

C_kon = 0,165 / 0,0165 (dt = 1 sek / dt = 10 sek)

C_dif = 0,17 / 0,017 (dt = 1 sek / dt = 10 sek)

Dermed skulle finitte differens modellen levere stabile resultater. I tabel I.9.2 afvigelsen i den totale stofmængde for de to modeller.
Det fremgår af tabel I.9.2, at den samlede masse i den analytiske løsning ikke afviger fra den tilsatte stofmængde. Dette var naturligvis heller ikke forventet, da den analytiske løsning jo ikke kan producere numeriske fejl. På resultatet fra den numeriske model er afvigelsen 3,0 E-08 kg med et tidsskridt på 1 sek. og 3,2 E-08 kg ved et tidsskridt på 10 sek., hvilket også udgør en ubetydelig del af de 2,2 E-03 kg der er tilsat. Dermed er det vist, at 0. ordens fejlene i modellen er ubetydelige, og at det er tilstrækkelig nøjagtigt at anvende et tidsskridt på 10 sek. Derimod er der nogle højere ordens fejl, som har indvirkning på spredningen og skævheden af kurven.

Finitte differens model med magasinering af stof

Det er vist i afsnittet analytisk løsning, at den analytiske løsning ikke helt kunne fittes til de målte stofkoncentrationer, hvilket hænger sammen med den meget forsimplede konceptuelle model. Der er derfor i det efterfølgende lavet en tilføjelse til finitte differens modellen, som tager højde for, at der i kanten af åen er betydeligt lavere hastigheder, end i midterzonen, og at stoffet derfor kan "sætte" sig fast langs bredden. På figur I.9.4 ses området langs bredden, hvor vandplanter og lav vanddybde har stor indvirkning på stoftransporten.

I praksis er dette indført i modellen, ved at tilføje en udveksling af vand mellem en effektiv zone og en "dødvandszone" på hvert steds- og tidsskridt, som illustreret på figur I.9.5 . Efter at den nye koncentration i en boks er udregnet ved advektion-dispersions ligningen udveksles et fast volumen vand (inkl. stof) mellem det strømmende og det stillestående vand. Derved skabes en forsinkelse af en del af stoffet, hvilket øger spredningen/dispersionen.

Resultater

Som det fremgår af figur I.9.6 er det med ovenstående ændring af modellen muligt af fitte modellen til de målte koncentrationer i Hasseris Å. De i tabel I.9.3 opstillede parametre er anvendt og de parametre der fittes på er markeret med fed skrift.
* Dispersionskoefficienten giver kun en del af dispersionen. Udvekslingen til dødvandszonen er også en form for dispersion, som ikke er medtaget i D.

Med udvidelsen giver modellen et godt fit til målingerne. Den stejle forkant på grafen sammen med den relativt lange "hale" kan nu begge modelleres med modellen, figur I.9.6.

Diskussion

I første omgang blev der lavet en model, som løste den endimensionale stationære advektion-dispersions ligning numerisk. Det blev konstateret, at resultatet ikke var identisk med den analytiske løsning. Der var ingen afvigelse på stofmængden, men spredningen og skævheden på kurven havde en vis fejl. Disse numeriske fejl er der ikke kompenseret for bevist i den udvidede model. Men ved at tilføje udvekslingen og arealet af dødvandszonen som parametre der kan fittes på, kan modellen tilpasses den målte kurve og de numeriske fejl skjules. Dette ville formentlig blive afsløret, hvis modellen blev valideret mod andre måleresultater på samme vandløbsstrækning. Det havde derfor været ønskeligt at have udført endnu et stoftransportforsøg til validering af modellen.

Dispersionskoefficienten, som er bestemt til 0,44 m²/sek, kan imidlertid ikke sammenlignes med den, som er fundet ved de øvrige stoftransportmodeller, fordi en del af spredningen i finitte differens modellen skyldes udvekslingen med dødvandszonen.

[ Til toppen ]
[ Forrige | Næste ]