Bilag: Teori og opsætning af strømningsmodel

Der er opsat en finitte differens model med det formål at kunne modellere vand- og stoftransporten i 'sandkassen'. I finitte differens modellen opdeles 'sandkassen' i mindre celler i et rektangulært grid. Der opstilles Darcyligninger for vandtransporten mellem cellerne, og derefter opstilles vandbalancen for hver celle. Det giver ’n’ ligninger med ’n’ ubekendte, hvor de ukendte størrelser er trykniveauerne i de enkelte celler.

I det følgende gennemgås opstillingen af ligningerne for en forsimplet model med 3 x 3 celler. Det vises ligeledes hvordan opsætningen i praksis er automatiseret i MATLAB. Selve 'sandkassen' består her af de 3 x 3 celler med ukendte trykniveauer og derudover er der 2 randbetingelser, hvor trykniveauet er kendt henholdsvis A og B. Modellen er opstillet som vist på figur II.21.1.

Darcyligningerne

Vandføringen mellem to celler er proportional med trykgradienten ifølge Darcy’s lov. Dermed antages det, at sandet indenfor hver celle er homogent og at strømningen med tilnærmelse kan beskrives ved en middelhasighed over tværsnitsarealet, ligning (II.21.1) og (II.21.2).

Massebalancer

For hver af de 9 celler med ukendt trykniveau er massebalancen opstillet: Idet modellen er stationær gælder Q_ind = Q_ud, ligning (II.21.3).
I massebalancen for celle 1 ses det, at der indgår 3 Darcyligninger. Da celle 1 ligger i øverste række er der ingen bidrag fra en celle ovenfor. Det ønskes at lave en metode til at opstille massebalancen for alle celler på samme måde samtidig med, at der tages højde for særtilfældene ved modellens rand.

Denne massebalance for celle 1 omskrives så der anvendes indeks (i, j), figur II.21.2. Det har vist sig at være hensigtsmæssigt, at lade i være positiv nedad og j positiv mod højre, idet i, j på denne måde kan henvise til rækker og søjler i matricen.

Der er herunder, for det generelle tilfældes skyld, tilføjet et flow fra cellen ovenover (i-1, j), ligning (II.21.4), som dog i dette tilfælde er lig med 0, da vi befinder os i øverste række.

Ovenstående massebalance omstruktureres, så de kendte trykniveauer står på højre side af lighedstegnet og de ukendte på venstre side. I eksemplet er h_{i, j-1} kendt, idet det er trykniveauet i A, ligning (II.21.5). Som det fremgår skal der findes en effektiv konduktivitet på grænsen mellem alle celler i modellen. Der er i praksis opstillet en matrice, som indeholder en konduktivitet for hver celle. Dernæst er der lavet 2 nye matricer, hvor K_eff i henholdsvis x- og y-retningen er beregnet ved et harmonisk gennemsnit. Matricerne med de effektive konduktiviteter ganges nu på de respektive konstanter, ligning (II.21.6). Dermed er det nu gjort mere overskueligt, at opstille et ligningssystem bestående af en koefficientmatrice, A, med n rækker og n søjler, en h vektor med alle de ukendte trykniveauer og en D vektor, som indeholder de kendte størrelser (indeholder randbetingelserne). I cellerne, som grænser op til modellens rand opstår et behov for at sikre sig, at der ikke kan forekomme et flow ud over randen. Eksempelvis skal det i matricens første række sikres, at C_{i-1, j} bliver 0 da der ikke findes en celle over celle 1. Dette er gjort ved at oprette en matrice med 3+2 rækker og 3+2 søjler som har 1-taller i de 9 aktive celler og nuller i de omkringliggende celler. Når koefficienterne udregnes går programmet først ind på det rigtige sted i model-matricen og kobler cellen til eller fra ved at gange med 0 eller 1. Bemærk at randcellerne også får værdien 0, idet disse bidrag i stedet er medtaget i D-vektoren. Denne løsning kan dog ikke bruges ved udregning af C_i,j –koefficienterne. I C_i,j –koefficienterne indgår et bidrag fra hver omkringliggende celle. Dette bidrag skal indgå i A matricen i de tilfælde, hvor der henvises til en randcelle. I disse situationer er jo det ukendte trykniveau i celle i, j der ganges på, hvorfor denne værdi ikke skal stå i D vektoren. Derfor er der lavet en model(ij) matrice, som sørger for dette. Det skal bemærkes, at randcellerne her har værdien 2. 2-tallet bliver ganget på K_eff hvorved der korrigeres for, at afstanden ud til det kendte trykniveau ved randen kun er ½ dx. Når C_i,j koefficienterne udregnes skal der dermed hentes en værdi fra den tilhørende celle i model(ij). I den ”ikke forsimplede” udgave af grundvandsmodellen er vandløbet også defineret som rand ved at indsætte 2-taller i randcellerne. De to model-matricer danner grundlag for oprettelse af K_eff matricerne og sikrer, at K_eff = 0 når der indgår en celle, der ligger udenfor modelområdet eller medtages i D-vektoren.

Med A-matricen og D-vektoren korrekt opstillet kan de ukendte trykniveauer bestemmes i ligning (II.21.7) ved at invertere A matricen. I MATLAB kan samme resultat opnås ved at bruge en indbygget algoritme, som bestemmer h ved den mest egnede iterationsmetode. Dette er tidsbesparende i forhold til en traditionel invertering af A-matricen.

Ved at opstille ligningssystemet som beskrevet, kan opsætningen af A, h og D automatiseres i MATLAB, så det kun er nødvendigt at definere antallet af rækker og søjler, samt hvilke celler, der er randceller.

For mere detaljeret gennemgang af hvordan programmet er lavet henvises til selve programkoden, som også indeholder forklarende kommentarer. Modelkode.

[ Til toppen ]
[ Forrige | Næste ]